|給爸、媽和老師的話|

　　　這一冊總共是四個主題：借光、分數、因數、以及圖解算術；除
　最後一項外，都是分為上下集來呈現，是為了讓讀者有一個「中場休
　息」的機會，所有大型表演都是這樣的。

　　　現在先來說借光；這其實是未來更大一場表演－鏡像原理－的先
　聲。「相喜亦喜，相憂亦憂」，是紅樓夢裡賈政測試寶玉的燈謎；但
　鏡子的神祕之處，豈止是忠實反應人間的憂喜而已。一幅畫可以有景
　深，有透視，畫得就跟真的一樣；但畫中的各個景物之間，絕不會隨
　著觀者位置的改變，而呈現出相對運動的情形；但鏡子所提供的畫面
　，卻絕非如此：若是在鏡子裡看月亮，那「月亮疑案（月隨人走的現
　象，見五上第一冊）」還是會照常發生的。這就表示，鏡子裡的虛境
　，其實也是一種「實景」；這實景二字，正是「成像」的真諦。

　　　為了把鏡子成像的道理研究明白，必須先能掌握「光的反射定律
　」；在這之前，又要對光的基本性質有所理解，因而就有了「借光」
　的上下集。剩下的問題是，人們難免要懷疑，所有這些，能算是數學
　嗎？辜不論是否需要想想。

　　　數學並不止是針對數字的計算之學，至少還包括探究圖形的幾何
　之學，這是大家都知道的。然而，並不是人人都能領略（即使是數學
　教育的專家）所謂「幾何之學」必須以視覺感受為基礎，是建立在人
　的視覺原理之上的。正是在這一點上，「數學想想」和一般課本有了
　區別：我們不願把圖形和人割裂開來，僅當做一個抽象的存在來研究
　。

　　　這是什麼意思呢？舉例來說，例如平行四邊形，在傳統的教學中
　，是被「定義」出來的，但在生活的週遭，並不容易找到由平行四邊
　形構成的東西。這時候，我們便應該知道，平行四邊形真正的來歷，
　是來自我們從側面看長方形所得到的形狀（這是小範圍內的透視效果
　，若加大尺度，則會得到梯形）；從這個角度切入來研究平行四邊形
　，就是把它和人的關係建立起來了。也正是基於這樣一種精神，數學
　想想在很早的時候，就有了「畫盒子（三下第一冊）」或「看到的圓
　（三上第三冊）」這類的題材。

　　　那麼，三角形又是怎麼出現的呢？其實，是來自視線的交會：當
　注視一樣物體，我們便知道它是在視線延伸出去的這條線上的某處，
　但無法確切得知它在線上的何處；這個時候，如果我們換一個觀察的
　位置，拉出一條新視線，則新舊視線的交點，就是這個物體無所遁逃
　的所在了。這就是測量學中最常用的三角交會法，而當一面鏡子橫插
　進來，這些視線就還要透過鏡子的反射，以更複雜的方式在鏡子後面
　交會，以便為我們造成那個物體的虛像。

　　　所以，無論怎麼說，若不研究三角形便罷，若要研究三角形，以
　及任何初等幾何學的內容，鏡子成像這個情境，當然就是一個最適當
　、最有趣、甚至是不可避免的研究場域了。那麼在鏡像之前，先來「
　借光」一看，不是理所當然嗎？

　　　接著來說分數；分數是有各種表現形式的。在「分數的分身術」
　裡，我們提供各種情境，讓小孩看到分數：如何改變其分子或分母 　（擴分和約分）、如何變為除法、如何以小數表示、如何化為百分數
　、如何化成帶分數、如何化成繁分數或從繁分數簡化回來，等等；可
　以說，把針對一個分數（未涉及兩個分數的運算）所能做的思考都列
　出來了。這樣做的好處，是讓小孩一次就可以看到整個圖象；相對的
　，壞處就是內容太多，不容易一次消化。

　　　所以，必須強調，這「分身」的上下集，是「導覽」的性質，這
　也可以從最後的總整理（第77頁）明顯看出；落實到教學上，非常重
　要的，就是不能要求小孩立即熟練這一課裡的各種計算，相反的，倒
　是要在熟練各種計算（當然是會安排在「想想」以後的課程裡）的時
　候，一再回到這個總覽來。傳統的做法，是把每一種計算分散到不同
　的章節或年級，其間既無邏輯的關連，也看不出發展的過程；結果就
　是，對於一般的成人而言，3/4等於0.75是相除的結果，但3/4為什麼
　就是3除以4呢？他的回答卻是，因為兩者都等於0.75。缺乏統整的破
　碎的知識會妨礙人的心智，這就又是一例。

　　　「3÷4」是「3個東西分成4份，取其1份」，而3/4是「一個東西
　分成4份，取其3份」，兩者的原意並不相同；必須是異中求同，從追
　究二者的一致性入手，才能將分數與除法整合起來。接著，再從相除
　時「商幾餘幾」引出「帶分數」，或從「一路除到底」引出小數表示
　法，就是順理成章的事了。

　　　另外，因數的題材是緊扣上冊的倍數題材發展而來，這與傳統教
　學「先公因數、後公倍數」的做法不同，在上冊的親子手冊中已經有
　所說明；而其中「用大格量」、「共量」的概念，更是把「求公因數
　」的需求，直接建立在「求公倍數」之上了。至於「圖解算術」這一
　課，則是為了發展「解應用題（文字題）」的能力而設的；這一次的
　內容是「和差問題」，以後還有各種問題的圖解算術會陸續出現。

　　　這份「給…的話」寫得像個冷冰冰的「內容簡介」，實在是因為
　要交待的東西太多；作者應盡的「筆端常帶感情」以及「堅守以人為
　本的原則」的責任，其實都已經在各課內容之中了，還請大家「移目
　」過去，保証不致感到失望的。